Pick-tétel, matematika, hogy szeretem

Tekintsünk egy egyszerű egész szám, nem degenerált sokszög (azaz csatlakoztatva - bármely két pont lehet csatlakoztatni egy folyamatos görbét, teljesen abban foglalt, és annak minden csúcsának egész koordinátákkal, a határvonala - csatlakoztatott sokszög nélkül önálló csomópontok, és azt nem nulla terület) .

Számítani a területet a sokszög, akkor a következő tétel:

Pick-tétel. Tegyük fel, hogy - a több egész pont a sokszög belsejében, - száma egész pont a határ, - a területen. Ezután a következő képlet Peak:

Példa. Poligon az ábrán (sárga pontok), (kék pontok, ne felejtsük el a tetejét!), Így a tér egység.

Itt meg tudod csinálni, hogy építsenek a különböző sokszögek, és a terület lesznek képlettel számítjuk ki Peak (sokszögek jelen ebben a cikkben, hogy épül ott).

Pick igazolást a tétel. Először is, vegye figyelembe, hogy a képlet igaz a Pick az egység téren. Sőt, ebben az esetben mi van mindkettő.

Vegyünk egy téglalap oldalai feküdt a rácsvonalak. Hagyja, hogy a hossza oldalai egyenlő, és. Van ebben az esetben a képlet Pick,

Nézzük egy derékszögű háromszög lábakkal feküdt a koordinátatengelyeken. Egy ilyen háromszög nyerik a téglalap oldalai és tárgyalt az előző esetben, a vágás átlósan. Hagyja, hazugság az átlós egész pontot. Mivel ebben az esetben kiderül, hogy

Most tekintsünk egy tetszőleges háromszög. Ez úgy állíthatjuk elő, vágás a téglalap több téglalap alakú háromszögek és esetleg téglalap (lásd. Ábrák). Ami a téglalap, a derékszögű háromszög Pick formula igaz, azt látjuk, hogy ez is érvényes egy tetszőleges háromszög.

Továbbra is, hogy az utolsó lépés: megy a háromszögek sokszög. Bármely sokszög lehet osztani háromszög (például, átlós). Ezért, csak meg kell bizonyítani, hogy az esetleges hozzáadása háromszög egy tetszőleges sokszög pick-tétel igaz.

Tegyük fel, hogy egy sokszög és a háromszög közös oldalán. Tegyük fel, hogy a képlet Peak érvényes bizonyítására, hogy ez igaz sokszög hozzáadása következtében. Mivel mind egy közös oldalon, akkor az összes szerves pont ezen az oldalon, de két csúcs belső pontja az új sokszög. A tetejét is a határ pont. Jelöljük a pontok számát közös keresztül megszerezni

- az első számú belső egész pontok az új sokszög

- száma határpont az új sokszög.

Ezekből egyenleteknek

Mivel azt feltételeztük, hogy a tétel igaz, és külön-külön,

Így pick-tétel bizonyult.

Sajnos, ez a figyelemre méltó képlet nem általánosítható magasabb dimenziókba, még a három-dimenziós eset. Ez azt mutatta, Reeve. Tekintsük Riva tetraéder, amelynek csúcsai koordinátái

(Itt -. Természetes szám) Bármely ezen belül a tetraéder senki egész pontot, és nincsenek egész pont a határ, kivéve akkor és. Így, különböző térfogatú és felületek területeken adatok tetraéderek egész számú fekvő pontok azokon belül, és azok határait, az változatlan marad, és a szintézis általános képletű Peak nem nyerhető.

Azonban néhány általánosítást keresztül szerzett Ehrhart polinomok.